Widerstandsnetzwerk 2
1 - Stern-Dreieck Transformation (O)
Abb. 1
Die Indizes der Widerstände ergeben sich über die willkürlich durchnummerierten Knotenpunkte. Der Sternpunkt wird immer mit Null bezeichnet.
Komplexere Widerstandsschaltungen können nicht über eine Parallel- oder Reihenschaltung von Widerständen beschrieben werden. Durch Umwandlung in eine Stern- oder Dreiecksschaltung lässt sich der Ersatzwiderstand komplexerer Schaltungen, wie z. B. bei einer Brückenschaltung, berechnen. Die dazu notwendigen Transformationsgleichungen lauten:
Transformationsgleichungen Stern-Dreieck-Umwandlung
Transformationsgleichungen Dreieck-Stern -Umwandlung
Wie man sieht, bleibt bei einer Stern-Dreieck-Transformation der Zählerterm konstant, bei einer Dreieck-Stern-Transformation hingegen der Nennerterm.
In der folgenden Übung wird eine Brückenschaltung auf einem Steckbrett aufgebaut,
- der Ersatzwiderstand berechnet,
- experimentell nachgemessen und
- mit einem Simulationsprogramm überprüft.
Übung 1 - Ersatzwiderstand einer DC-Schaltung berechnen
| Übung 1 - Ersatzwiderstand einer DC-Schaltung berechnen | |
| Material |
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| Aufgaben |
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Schaltskizze
Abb. 1
Widerstandsnetzwerk mit den Widerständen:
R1 = 1 kOhm, R2 = 470 Ohm, R3 = 10 kOhm, R4 = 2,2 kOhm und R5 = 330 Ohm.
Als Spannungsquelle wird eine Blockbatterie von 9 V angeschlossen.
1 - Berechnung des Ersatzwiderstandes der Schaltung
Man erkennt sofort die Sternschaltung mit den Widerständen R1, R2 und R5. Die Knotenpunkte werden willkürlich durchnummeriert und die Widerstände in der Sternschaltung, bezogen auf den Sternpunkt 0, umbenannt in R10, R20 und R50.
Abb. 2
R10, R20 und R50 bilden eine Sternschaltung. Die Knoten wurden mit Zahlen belegt; die Widerstände, bezogen auf den Knoten 0, umbenannt. Aus R1 wurde R10, aus R2 entsprechend R20 usw.
Die eindeutige Bezeichnung der Knoten und Widerstände in der Schaltung verhindert Rechenfehler, die besonders bei den Transformationsgleichungen auftreten können.
Die Sternschaltung wird - zeichnerisch zunächst – durch eine Dreiecksschaltung ausgetauscht. Dazu werden die Widerstände zwischen den Knotenpunkten 1, 3 und 2 eingezeichnet und über die Knotenbezeichner beschriftet.
Abb. 3 – Dreieckschaltung mit neu bezeichneten Widerständen.
Mit Hilfe der Transformationsgleichungen SD01 – SD03 lassen sich die Widerstandswerte der Dreiecksschaltung berechnen (bitte unbedingt selbst nachrechnen!):
- R12 = 2,894 kOhm
- R13 = 2,032 kOhm
- R23 = 955,1 Ohm
Als Ersatzwiderstand der Schaltung errechnet sich dann über die Parallel- und Reihenschaltung der Widerstände ein Ersatzwiderstand von
- RErsatz = 1,157 kOhm.
Bei einer angelegten Batteriespannung von 9 V (Blockbatterie), ergibt sich eine Gesamtstromstärke von gerundet:
- Iges, rechnerisch = 7,8 mA.
2 - Messergebnis
Baut man die Schaltung aus Abb. 1 auf einem Steckbrett auf, ergibt sich experimentell eine Gesamtstromstärke von
- Iges, experimentell = 7,5... mA
die im Toleranzbereich zum errechneten Wert von ca. 7,8 mA liegt.
Übung 2 - Simulation der Schaltung aus Übung 1
a - Die Schaltung
Abb. 4
Schaltbild nach Abb. 1, übertragen in das Simulationsprogramm TINA.
Über das Hauptmenü wird Analyse - DC Analyse aufgerufen. Das Schaltbild zeigt die gelb unterlegten Knotenpunkte, auf die sich die DC Messwerte der nachfolgenden Tabelle beziehen.
Zur Bestimmung der Gesamtstromstärke in der Schaltung wird zunächst der Ersatzwiderstand der Gesamtschaltung berechnet. Dazu werden die Stern-Dreieck-Transformationsgleichungen benutzt.
b - Berechnung von Ig über Stern-Dreieck-Transformation
Abb. 5
Die Sternschaltung (s. Abb. 4) aus den Widerständen R1, R2 und R3 wird in eine Dreieckschaltung mit den Widerständen R12, R13 und R23 umgewandelt. Vergleiche hierzu Abb. 1.
Die Berechnung von R12, R13 und R23 erfolgt über die Transformationsgleichungen SD01 - SD03.
Die beiden Ersatzwiderstände der parallel liegenden Widerstände R12 und R4 sowie R23 und R3 liegen in Reihe zu R12 (s. Abb. 5). Damit kann dann bei vorgegebener Spannung U der Gesamtstrom berechnet werden (s. Abb. 6 und 7).
Abb. 6
Berechnung von Rg über den Zwischenschritt einer Stern-Dreieck-Transformation.
Der Widerstand Rg oder auch Ersatzwiderstand der Schaltung errechnet sich zu
- Rg = 1,157... kOhm.
Der Vollständigkeit halber sind auch alle Teilstromstärken und Teilspannungen berechnet worden; ihre Ergebnisse zeigt Abb. 7.
Abb. 7
Die Berechnungen wurden im Simulationsprogramm mit Hilfe des Tools Interpreter durchgeführt. Die Indizes beziehen sich auf Abb. 5.
I12 entspricht Ig und errechnet sich zu
Ig = 7,78 mA.
c - DC Analyse der Schaltung
Die vom Simulationsprogramm analysierten DC-Werte der Teilstrom- und Teilspannungsstärken sowie der Gesamtstromstärke zeigt die nachfolgende DC-Tabelle. Sie wird im Programm TINA über das Hauptmenü
- Analyse - DC Analyse - Tabelle der DC-Ergebnisse
aufgerufen.
Abb. 8
Die Indizes in der Tabelle beziehen sich auf die gelb unterlegten Knotenpunkte, wie in Abb. 4 dargestellt.
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