Berechnung von Widerstandsnetzwerken
Parallel- und/oder Reihenschaltungen von Widerständen lassen sich auf Ersatzwiderstände reduzieren. Über das Ohmsche Gesetz werden die Formeln zur Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Reihen- bzw. Parallelschaltung von Widerständen hergeleitet. Es gelten die folgenden Gesetze:
1 - Reihenschaltung von n Widerständen (n aus N)
Bei einer Reihenschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe der einzelnen Widerstände.
2 - Parallelschaltung von n Widerständen (n aus N)
Der Ersatzwiderstand parallel geschalteter Widerstände ist immer kleiner als der kleinste in der Schaltung vorkommende Parallelwiderstand.
Auflösen von (KH02) nach Rges ergibt für zwei Widerstände die aus der Schule bekannte Formel
Nicht alle Reihen- oder Parallelschaltungen von Widerständen lassen sich auf Ersatzwiderstände reduzieren. Da kommen dann die Kirchhoff´schen Gesetze ins Spiel.
3 - 1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel)
Für jeden Knoten eines Netzwerkes gilt, dass die Summe der Ströme, die zu einem Knoten hinfließt, gleich der Summe der Ströme ist, die von ihm wegfließt.
4 - 2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel)
Die Summe der Spannungen in einer Masche – bei beliebig festgelegtem Umlaufsinn – ist Null.
Soweit die eher trockene Theorie. Betrachten wir dazu eine Beispielschaltung aus drei Widerständen und zwei Energiequellen.
Übung 1 - Ein Berechnungsbeispiel (O)
Abb. 1 - Widerstandsnetzwerk aus drei Widerständen und zwei Spannungsquellen. Insgesamt besteht es aus vier Knoten und drei Maschen. Ub1 = 7,8 V, Ub2 = 4,0 V. Referenzpunkt für Spannungsmessungen ist Knoten 4.
Aus den gegebenen Widerstandswerten und den Batteriespannungen Ub1 und Ub2 lassen sich mit Hilfe von Knoten- und Maschenregel nach Kirchhoff sowie einer Knotenspannungs-analyse (nodal voltage analysis) alle Teilströme der Schaltung berechnen. Mit Hilfe der Knotenregel werden die Potentiale in einem Widerstandsnetzwerk errechnet (Knotenspannungsanalyse) und anschließend die Teilströme berechnet.
Die Innenwiderstände der Batterien werden vernachlässigt.
Berechnung aller Teilströme
Anwendung der Knotenregel auf Knoten 2
- (a) I1 + I3 = I2
Anwendung der Maschenregel auf Masche 1241 und Masche 2342
- (b) UR1 + UR2 = 7,8 Volt oder U14 + U24 = 7,8 V
- (c) UR3 + UR2 = 4 Volt oder U24 + U34 = 4 V
mit U34 = 4 V und U14 = 7,8 V.
Nach dem Ohmschen Gesetz lässt sich (a) auch schreiben als:
- (a1) UR1/R1 + UR3/R3 = UR2/R2
Einsetzen von (b) und (c) in (a1) und auflösen des Terms nach U24 ergibt einen Spannungswert von:
- U24 = 5,14 V.
Damit lassen sich dann die Teilströme berechnen:
- I1 = 2,65… mA
- I2 = 2,33… mA
- I3 = - 0,38… mA
Soweit die Theorie! Diese Werte werden jetzt experimentell in einer Testschaltung nach Abb. 1 überprüft.
Übung 2 - Ströme und Spannungen überprüfen (O)
| Übung 2 - Ströme und Spannungen in einem Widerstandsnetzwerk überprüfen | |
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Material |
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Aufgaben |
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Schaltungsaufbau
Abb. 2
Die grünen Steckbrücken erleichtern die Schaltungsbelegung mit einem Stromstärkemessgerät, ohne das dafür die Schaltung "auseinander gerissen" werden muss.
Einzig bei der Messung von I2 muss die Schaltung etwas umgebaut werden.
Messergebnisse
Die gemessenen Ströme und die Spannung U24 zeigt die folgende Tabelle:
| Messergebnisse | |
| U24 | 4,7 Volt |
| I1 | 2,3 mA |
| I2 | 2,1 mA |
| I3 | |0,2 mA| |
5 - Komplexe Widerstandsschaltung und Stern-Dreieck Transformation
Komplexere Widerstandsschaltungen können nicht über eine Parallel- oder Reihenschaltung von Widerständen beschrieben werden. Durch Umwandlung in eine Stern- oder Dreiecksschaltung lässt sich der Ersatzwiderstand komplexerer Schaltungen, wie z. B. bei einer Brückenschaltung, berechnen. Die dazu notwendigen Transformationsgleichungen lauten:
Abb. 3
Die Indizes der Widerstände ergeben sich über die willkürlich durchnummerierten Knotenpunkte. Der Sternpunkt wird immer mit Null bezeichnet.
Transformationsgleichungen Stern-Dreieck-Umwandlung
Transformationsgleichungen Dreieck-Stern -Umwandlung
Wie man bei beiden Transformationen sieht, bleibt der Zählerterm bei einer Stern-Dreieck-Transformation konstant, bei einer Dreieck-Stern-Transformation hingegen der Nennerterm.
In der folgenden Übung wird eine Brückenschaltung aufgebaut, der Ersatzwiderstand berechnet und am Realexperiment das theoretische Ergebnis überprüft.
Übung 3 - Ersatzwiderstand einer Brückenschaltung (O)
| Übung 3 - Brückenschaltung und Ersatzwiderstand | |
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Material |
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Aufgaben |
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Schaltskizze
Abb. 4
Brückenschaltung mit den Widerständen:
R1 = 1 kOhm, R2 = 470 Ohm, R3 = 10 kOhm, R4 = 2,2 kOhm und R5 = 330 Ohm.
Als Spannungsquelle wird eine Blockbatterie von 9 V angeschlossen.
Berechnung des Ersatzwiderstandes der Schaltung
Man erkennt sofort die Sternschaltung mit den Widerständen R1, R2 und R5. Die Knotenpunkte werden willkürlich durchnummeriert und die Widerstände in der Sternschaltung, bezogen auf den Sternpunkt 0, umbenannt in R10, R20 und R50.
Abb. 5
R10, R20 und R50 bilden eine Sternschaltung. Die Knoten wurden mit Zahlen belegt; die Widerstände, bezogen auf den Knoten 0, umbenannt. Aus R1 wurde R10, aus R2 entsprechend R20 usw.
Die eindeutige Bezeichnung der Knoten und Widerstände in der Schaltung verhindert Rechenfehler, die besonders bei den Transformationsgleichungen auftreten können.
Die Sternschaltung wird - zeichnerisch zunächst – durch eine Dreiecksschaltung ausgetauscht. Dazu werden die Widerstände zwischen den Knotenpunkten 1, 3 und 2 eingezeichnet und über die Knotenbezeichner beschriftet.
Abb. 6 – Dreieckschaltung mit neu bezeichneten Widerständen.
Mit Hilfe der Transformationsgleichungen SD01 – SD03 lassen sich die Widerstandswerte der Dreiecksschaltung berechnen (bitte unbedingt selbst nachrechnen!):
- R12 = 2,894 kOhm
- R13 = 2,032 kOhm
- R23 = 955,1 Ohm
Als Ersatzwiderstand der Brückenschaltung errechnet sich dann über die Parallel- und Reihenschaltung der Widerstände ein Ersatzwiderstand von
- RErsatz = 1,157 kOhm.
Bei einer angelegten Batteriespannung von 9,1 V (Blockbatterie), ergibt sich eine Gesamtstromstärke von
- Iges, rechnerisch = 7,8 mA.
Messergebnis
Experimentell ergibt sich eine Gesamtstromstärke von
- Iges, experimentell = 7,5... mA.
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